Exemples d'application

On considère un champ de vent horizontal homogène horizontalement et . On suppose la CLA adiabatique : c’est donc le cas de « neutralité » statique.
Les équations deviennent alors en utilisant la théorie K pour fermer le modèle et en négligeant la diffusion moléculaire par rapport à la diffusion turbulente :
Au sommet de la CLA, les variations diurnes sont faibles , et les effets de surface sont négligeables (la turbulence est faible : ). Ceci définit les composantes du vent géostrophique selon :
En supposant que les gradients horizontaux de pression sont constants, on obtient alors :
Pour simplifier, on considère que l’axe des x est aligné sur le vent géostrophique, ce qui revient à prendre . Les solutions stationnaires de ce système , avec comme conditions aux limites au sol la condition d’adhérence sont alors aisément calculées en passant en variables complexes :
où on a défini :
remarque Remarque
On définit alors la hauteur H de la CLA comme la première altitude à laquelle le champ de vitesse s’aligne sur le champ géostrophique (l’axe des x). Elle est évidemment donnée par , soit :
On retrouve le résultat physique déjà présenté : plus l’effet de surface est fort (Km élevé), plus la hauteur de la couche de mélange augmente. Une application numérique avec les valeurs typiques de et conduit à une valeur crédible de H = 1500 m environ.
A cette altitude, la composante horizontale est à peu près égale à celle du vent géostrophique, puisque . L’évolution de l’angle du vent avec la direction du vent géostrophique est l’angle avec l’axe des , qui vérifie :
ce qui permet de tracer l’hodographe d’Ekman qui représente l’évolution avec l’altitude de cet angle (figure 8).

Hodographe des composantes du vent (spirale d’Ekman) [8]

On trouve aisément comme angle au sol . En réalité, cet angle varie de 25 à 30 degrés. On reviendra sur les limitations de ce modèle en définissant la Couche Limite de Surface.

Le modèle d'Ekman ne correspond pas à la réalité observée et n'est qu'une approximation. Une des limitations concerne notamment la Couche Limite de Surface, définie comme la zone près du sol (approximativement une dizaine de mètres de haut) où les flux de quantité de mouvement, de chaleur sensible et latente sont conservatifs et égaux à ceux existant à la surface. Les profils des principaux champs peuvent être calculés dans la CLS. On suppose un écoulement suivant l’axe des x.
On définit la vitesse de friction, notée u* , à partir du flux turbulent de surface (supposé constant dans la CLS) :
La terminologie est « logique » : plus le sol est rugueux, plus la force de friction génère de la turbulence. La valeur de u* est typiquement de quelques dizaines de centimètres par seconde.

Une première approche pour calculer le gradient de vent dans la CLS neutre est d'adopter une analyse dimensionnelle. Au sein de la CLS, les deux variables physiques sont u* et z (l'altitude, c'est à dire l'éloignement à la « paroi »). Le gradient est donc de la forme :
avec k une constante sans dimension (que l'on place au dénominateur pour respecter les conventions classiques : la constante k est la constante de Von Karman, de l'ordre de 0.35 - 0.4).
Par intégration, on obtient donc un profil logarithmique :
avec z0 la hauteur de rugosité définie par u(z0)=0. Typiquement z0 est de l'ordre de quelques mètres (un dizième environ des obstacles).
Une seconde approche, pour le cas neutre, est fondée sur la théorie de la longueur de mélange (Prandtl). Si on note la longueur sur laquelle une particule ne se mélange pas avec son environnement lors d'un déplacement vertical ( a un signe en fonction du sens de son déplacement), ce déplacement crée par exemple une fluctuation de composante de vitesse horizontale :
avec au voisinage du sol .
Pour la fluctuation de vitesse verticale, on a par contre :
car un déplacement vers le haut ( >0) est associé à une fluctuation de vitesse verticale positive (w'>0). On a alors :
Avec l'équation :
On obtient :
Un choix « logique » pour la longueur de mélange est kz (la taille des tourbillons est donnée par l'éloignement au sol) et on conclut.
L'approche dimensionnelle se généralise aux cas stables ou instables. D'autres variables physiques interviennent (notamment pour les effets de flottabilité) et on a :
avec une fonction et LMO la longueur de Monin-Obukhov qui se calcule à partir des grandeurs physiques.

R.B. Stull. An introduction to Boundary Layer Meteorology. Kluwer Academic Publishers, 1988

Crédits


[8] Dominique Lambert  
Définition

couche de surface (C.L.S.): couche atmosphérique près du sol où les flux de quantité de mouvement, de chaleur sensible et latente sont conservatifs et égaux à ceux existant à la surface du sol